Векторы в пространстве.Метод координат в пространстве.

Задачи

  1. Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника.

  2. В тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно ребру CD, P—произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки O до середин рёбер AC и BD равна сумме квадратов расстояний от точки P до середин рёбер AD и BC.

  3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD1 и CE1, где D1 и E1—соответственно середины рёбер A1C1 и B1C1.

  4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(−2; 0; 3) параллельно плоскости 2x−y−3z+5=0.

  5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках P(−1; 2; 5) и Q(3; −4; 1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки A(0; −2; −1) и B(3; 2; −1).

  6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A(−3; 0; 1), B(2; 1; −1) и C(−2; 2; 0).

  7. Найдите угол между прямой, проходящей через точки A(−3; 0; 1) и B(2; 1; −1), и прямой, проходящей через точки C(−2; 2; 0) и D(1; 3; 2).

  8. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(−2; 0; 3) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки A(−3; 0; 1), P(−1; 2; 5) и Q(3; −4; 1).

  9. Найдите расстояние от точки D(1; 3; 2) до плоскости, проходящей через точки A(−3; 0; 1), B(2; 1; −1) и C(−2; 2; 0).

  10. Найдите острый угол между плоскостями 2x−y−3z+5=0 и x+y−2=0.

  11. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами и . Найдите угол между этими диагоналями.

  12. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=3, BC=2, CC1 =4. На ребре AB взята точка M, причём AM:MB=1 : 2; K—точка пересечения диагоналей грани CC1D1D. Найдите угол и расстояние между прямыми D1M и B1K.

  13. Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости Oxy и Oyz равны соответственно корень из 6 и корень из 7, а площадь проекции на плоскость Oxz—целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.

  14. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами альфа и бетта. Найдите угол между этими диагоналями.

  15. На рёбрах A1B1, AB, A1D1 и DD1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 взяты точки K, L, M и N соответственно, причём A1K =2/3, AL=1/5, A1M=1/3. Определите, какое из рёбер A1D1 или D1C1 пересекает плоскость, параллельную отрезку ML и содержащую отрезок KN. В каком отношении это ребро делится плоскостью?

  16. Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

  17. Найдите расстояния между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра со стороной a.

  18. Даны точки A(1; 0; 1), B(−2; 2; 1), C(2; 0; 3). Составьте уравнение плоскости ABC.

  19. Даны точки A(1; 0; 1), B(−2; 2; 1), C(2; 0; 3) и D(0; 4; −2). Найдите острый угол между плоскостями ABC и BCD.

  20. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a. Пусть M—середина ребра D1C1. Найдите периметр треугольника A1DM, а также расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

  21. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1—прямоугольник ABCD со сторонами AB=2 и BC=4. Высота OO1 параллелепипеда равна 4 (O и O1—центры граней ABCD и A1B1C1D1 соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте OO1 касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.

  22. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 четыре числа—длины рёбер и диагонали AC1— образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA1

  23. Найдите координаты проекции точки P(0; 2; 1) на прямую (x−4)/2 = (y+1)/−1 = (z−2)/3.

  24. Через точку M(−1; −1; 2) проведите плоскость, перпендикулярную прямой пересечения плоскостей x−2y+z−13=0 и x+2y−2z+2=0.

  25. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 четыре числа—длины рёбер и диагонали AC1— образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA1