НАУКА ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

Математика в Древней Греции
Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э.
Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: «Природа разговаривает с нами на языке математики».

Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже – механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, польза от которого — не только в установлении истинности утверждений, но также и в выявлении неочевидных связей между понятиями, научными фактами и областями математики.

Начальный период греческой математики (VII-IV вв. до н.э.) Краткая характеристика эпохи

Классическим примером образования математических теорий и становление математики как науки является математика древней Греции. Бронза вытесняется железом и орудия производства становятся более доступными. Это означает, что в общественную жизнь вовликаются все большие массы людей. Древнее иероглифическое письмо заменяется алфавитным, т.е. грамматность становится более доступной, чем раньше.

В период VI-IV вв. до н.э. античная Греция представляла собой совокупность рабовладельческих государств-полисов(городов). В этих городах устанавливается демократия (власть народа). В рабовладельческом строе право голоса имели только свободные граждане. На общих собраниях свободных граждан (агора) решались практически все злободневные вопросы данного города. Победу одерживал тот оратор, который обладал хорошей логикой (искусством убеждать словом) и диалектикой (искусством вести спор вдвоем). Этим наукам в Древней Греции стали обучать уже начиная с 13 столетия до н.э. В рабовладельческом государстве начинает выделяться слой имущих, имеющих досуг. Многие из них начинают заниматься наукой. Появляются первые интеллегенты: врачи, ораторы, философы, учителя .

Древнегреческие города вели оживленную торговлю как между собой, так и с другими государствами Средиземноморского бассейна: Египтом, Финикией, Персией и т.д. Расширение торговли приводит древних греков к необходимости и завоеванию новых земель, и расширению связей с другими народами.

В Древней Греции сложились все основные типы мировоззрений, действовали естественнонаучные школы. Ведущее место среди греческих натурфилосовских школ занимали: ионийская (VII-VI вв. до н.э.) и пифагорейская (VI-V вв. до н.э.)

Пифагорейская школа (ок. 580-500 до н.э.)

Рафаэль Санти. Пифагор (деталь Афинской школы)

Основателем Пифагорейской школы являлся Пифагор Самосский, который, предположительно, был мистиком, учёным и государственным деятелем аристократического толка. Пифагор создал пифагорейский союз, который являлся своеобразным, полумистическим, полурелигиозным обществом. Пифагорейцы были путешественниками, при встречи они приветствовали друг друга «пифагорейской звездой», которую рисовали на земле прутиком.

Пифагорейская звезда

Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. Они приписывали числам особые сверхестественные свойства, понимали, что каждая вещь или явление обладают сущностью(содержанием) и видимостью (формой). Форма постигается органами чувств, а сущность умом и подчинена логике чисел. Познав мир чисел, познаём и сущность вещей. «Все сущее есть число»- лозунг пифагорейцев. Предполагают, что от пифагорейцев ведет свое начало термин «математика». Пифагорейцы различали четыре матемы (с греч. «матема»- знание, наука, учение через размышление): учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию с астрологией.

После раскола пифагорейского союза образовалось два главных направления: «акузматики» (от греческого слова «акусма» — «священное изречение» ) — сторонники религиозно-мистического учения Пифагора и «математики»- приверженцы науки. От последних и ведется название «математика».

Все, что открывали пифагорейцы, приписывалось самому Пифагору. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Числа разбиваются на четные (мужские ), нечетные (женские), также рассматривались фигурные числа. Например, треугольные числа, связывающие арифметику и геометрию.

Треугольные числа

Наш термин «квадратные числа» идёт от построений пифагорейцев.

Квадратные числа

Пифагорейцы разделяли числа на дружественные и совершенные.

Дружественные числа — это пара натуральных чисел каждый из которых равно сумме всех делителей другого числа. Например, 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 и 220=1+2+4+71+142.

Совершенные числа — это числа равные сумме своих делителей. Например, 6=1+2+3 или 28=1+2+4+7+14.

Также пифагорейцы открыли простые и составные числа.

Пифагорейцам приписывается обозначение чисел с помощью букв греческого алфавита: ά=1, β=2, γ=3 и т.д.

Указанная символика для вычислений не была пригодной, но пифагорейцы вычислениями и не занимались. Вычислительную математику они называли логистикой и считали уделом купцов. В представление пифагорейцев числа пердставляли собой набор единиц. Единицу называли монадой, пифагорейцы её числом не считали, а считали только зародышем числа.

В связи с разделением чисел на четные и нечетные у пифагорейцев закладываются основы теории делимости чисел, которые в дальнейшем приводят пифагорейцев к отношению двух натуральных чисел, т.е. к понятию рационального числа. Однако само понятие рационального числа ими еще не осмысливалось. Изучение, отношений чисел приводит их к созданию теории пропорции. Главное открытие пифагорейцев — открытие иррациональности.

Пифагорейцы впервые вводят в математику систематические доказательства, то есть все утверждения пытаются доказать. Вершиной математической мысли пифагорейцы считают доказательство несоизмеримости диагоналей квадрата с его стороной. В современном изложении это доказательство выглядит так

С открытием несоизмеримости диагоналей квадрата с его стороной приходит крах пифагорейской идеи о том, что числа всесильны. Обнаружилось, что не всякому объекту можно приписать определённое рациональное число, даже такому простому как отрезок: каждому рациональному числу можно сопоставить отрезок, построив его с помощью циркуля и линейки, но не всякому отрезку можно приписать число. То есть мир отрезков богаче мира чисел, а это означает крах идеи Пифагора, что всё сущее есть число. Значит, математику надо строить не на основе арифметики, а на основе геометрии.

Вся дальнейшая математика древних греков была изложена на геометрическом языке.

Вот так, например, доказывается формула (a+b)^2=a^2+2ab+b^2:

Теория линейных уравнений греками излагается на языке геометрических пропорций, а квадратные уравнения решались методом приложения площадей. Эта математика получила название геометрическая алгебра древних греков.

Нумерологическая мистика пифагорейцев нередко приводила к произвольным и спекулятивным выводам. Например, они были уверены в существовании невидимой Антиземли, так как без неё число небесных сфер (нижнее небо, Солнце, Луна и 6 планет) не составляет совершенного числа 10. В целом, несмотря на обилие мистики и эксцентричных предрассудков, заслуги пифагорейцев в развитии и систематизации античных математических знаний неоценимы.

Зенон, Демокрит (V в. до н.э.)

В V веке до н. э. появились новые вызовы оптимизму пифагорейцев.

Первый из них — три классические задачи древности: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Греки строго придерживались требования: все геометрические построения должны выполняться с помощью циркуля и линейки, то есть с помощью совершенных линий — прямых и окружностей. Однако для перечисленных задач найти решение каноническими методами не удавалось. Алгебраически это означало, что не всякое число можно получить с помощью 4 арифметических операций и извлечения квадратного корня.

Квадратурой круга безуспешно занимался выдающийся геометр-пифагореец, автор доевклидовых «Начал», первого свода геометрических знаний, Гиппократ Хиосский.

Первые две задачи сводятся к кубическим уравнениям. Архимед позже дал общее решение кубических уравнений с помощью конических сечений. Однако многие комментаторы продолжали считали подобные методы неприемлемыми. Гиппий из Элиды (V век до н. э.) показал, что для трисекции угла полезна квадратриса (первая трансцендентная кривая в истории математики); она же, кстати, решает и задачу квадратуры круга (Динострат, IV век до н. э.).

Помимо перечисленных, греки активно исследовали задачу деления круга: какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой. Без труда удавалось разделить окружность на 3, 4, 5, 15 частей, а также удвоить перечисленные значения. Но семиугольник никому не поддавался. Как оказалось, здесь также получается кубическое уравнение. Полную теорию опубликовал только Гаусс в XIX веке.

Второй удар по пифагореизму нанёс Зенон Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), из которых наиболее знамениты четыре. Вопреки многократным попыткам их опровергнуть и даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор служат предметом серьёзного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики — конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Математика тогда считалась средством познания реальности, и суть споров можно было выразить как неадекватность непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи.

В конце V века до н. э. жил ещё один выдающийся мыслитель — Демокрит. Он знаменит не только созданием концепции атомов. Архимед писал, что Демокрит нашёл объём пирамиды и конуса, но доказательств своих формул не дал. Вероятно, Архимед имел в виду доказательство методом исчерпывания, которого тогда ещё не существовало.

Платон, Евдокс (IV век до н. э.)

Платон

Уже к началу IV века до н. э. греческая математика далеко опередила всех своих учителей, и её бурное развитие продолжалось. В 389 году до н. э. Платон основывает в Афинах свою школу — знаменитую Академию. Математиков, присоединившихся к Академии, можно разделить на две группы: на тех, кто получил своё математическое образование вне Академии, и на учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Архит Тарентский и позднее Евдокс Книдский; к числу вторых — Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат.

Сам Платон конкретных математических исследований не вёл, но опубликовал глубокие рассуждения по философии и методологии математики. А ученик Платона, Аристотель, оставил бесценные для нас записки по истории математики.

Евдокс Книдский первый создал геоцентрическую модель движения светил с 27 сферами. Позже эта конструкция была развита Аполлонием, Гиппархом и Птолемеем, которые увеличили число сфер до 34 и ввели эпициклы. Ему же принадлежат два выдающихся открытия: общая теория отношений (геометрическая модель вещественных чисел) и античный анализ — метод исчерпывания.

Зрелость греческой математики

Период зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н.э.).
Наиболее значительными фигурами этого периода были:

Евклид (315-255 г. до н.э.)

Евклид. Оксфордский университетский музей естественной истории

Автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд – «Начала». «Начала» Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений. «Начала» состоят из 13 книг (глав).
1-6 -планиметрия
7-9 -арифметика
10 -несоизмеримые величины и теория пропорций
11-13 -стереометрия

Есть предположения, что Евклид построил учебник логики в духе Платона-Аристотеля на математическом материале, этим в частности можно объяснить отсутствие всяких приложений математики в «Началах».

Интересно отметить следующее:

1. «Начала» являлись первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики (также попытки предпринимались до Евклида)

2.Вычислительная сторона математики полностью отсутствовала

3.Нет приложений

В первой книге 23 определения, которыми фактически Евклид не пользуется, 5 постулатов и 9 аксиом. Постулаты носили геометрический характер и начинались со слов «требуется». Они отражали возможности построений множеств плоскости с помощью циркуля и линейки. В древнегреческой математике существовали требования, идущие от Платона.

Математический объект считался существующим, если его удавалось построить с помощью циркуля и линейки. Знаменитые задачи древности с помощью циркуля и линейки решить не удавалось, поэтому они считались неразрешимыми.

Вычислительная сторона математики не была достойна внимания греческих мыслителей.

Диофант (ок. 3 в. до н.э.)

В конце II в. н.э. начинается закат греческой математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- «Арифметика», по предположению, состоит из 13 книг (глав)

Главные заслуги Диофанта:

1. Отказ от геометрической алгебры древних греков. Введение буквенной алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики.

2. Расширение понятия числа.

3. Заложил основы теории неопределённых уравнений, которые приводят в последствии к теории чисел.

Если древнегреческая геометрическая алгебра имела дело со степенями не выше третьей, то Диофант это ограничение фактически снимает.

У Диофанта расширение понятия числа наряду с положительными числами появились отрицательные числа и отрицательные показатели степеней. Диофант аксиоматически вводит умножения степеней, которые в современной форме имеют вид X^m*X^n = X^(m+n)

Архимед (ок. 287-212 г. до н.э.)

Архимед был знаменитым механиком и математиком, главная особенность его математических работ в отличии от Евклида — приложение к механике. По математике Архимедом выполнены работы по вычислению площади и объёма (предварительно Архимед взвешивал различные пластины и тела), усовершенствовал метод исчерпывания, изложенным Евклидом -этим методом доказывается, что квадратуру круга , т.е. вычисление площади круга можно решить с помощью вписывания правильных многоугольников, неограниченно удваивая число их сторон, тогда площади таких многоугольников исчерпывают площадь круга.

Интегральные методы Архимед изложил в следующих работах.

1. «О шаре и цилиндре»

2. «О спиралях»

3. «О коноидах и сфероидах»

В этих работах он ввёл понятия верхних и нижних сумм.

В XIX веке эта идея воплощена Дарбу, разность площадей может быть сколь угодно малой при увеличении числа сторон вписанными и описанными окружностью.

В работах Архимеда содержатся и дифференциальные идеи, когда он рассматривает о максимальной функции и касательной к кривой.

Апполоний (260-170 г.до н.э.)

Главный его труд «Конические сечения», посвящённый изучению кривых второго порядка. Установил характерные свойства эллипса, гиперболы и параболы. Предшественником Апполония был Менехм (греческий математик, ок. IV в. до н.э.), который использовал конические сечения при решении задачи об удвоении куба. Менехм рассматривал сечения конусов плоскостью перпендикулярной образующим, при этом он рассматривал разные типы конусов — остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, но углы наклона плоскостей к образующим разные, в результате для одного и того же конуса имеем различные конические сечения.

В работах Апполония просматривается идея координат, где точки кривой «привязываются » к серединам диаметра кривых. Название кривых — фокус и ассимптоты даны Апполонием.

Упадок античной науки

После Аполлония (со II века до н. э.) в античной науке начался спад. Новых глубоких идей не появляется. В 146 году до н. э. Рим захватывает Грецию, а в 31 году до н. э. — Александрию.

Среди немногочисленных достижений:
• открытие конхоиды (Никомед);
• известная формула Герона для площади треугольника (I век н. э.);
• содержательное исследование сферической геометрии Менелаем Александрийским;
• завершение геоцентрической модели мира Птолемея (II век н. э.), для чего потребовалась глубокая разработка плоской и сферической тригонометрии.

Необходимо отметить деятельность Паппа Александрийский (III век). Только благодаря ему до нас дошли сведения об античных учёных и их трудах.

На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура Диофанта — последнего из великих античных математиков, «отца алгебры».

После III века н. э. александрийская школа просуществовала около 100 лет — приход христианства и частые смуты в империи резко снизили интерес к науке. Отдельные учёные труды ещё появляются в Афинах, но в 529 году Юстиниан закрыл Афинскую академию как рассадник язычества.

Часть учёных переехала в Персию или Сирию и продолжала труды там. От них уцелевшие сокровища античного знания получили учёные стран ислама.

Заключение

Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.

Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.